: Noções sobre Média, Mediana e Moda Atendendo muitas solicitações de nossos leitores sobre esse tema da Estatística e que também estão se preparando...
Noções sobre Média, Mediana e Moda
Atendendo
muitas solicitações de nossos leitores sobre esse tema da Estatística e
que também estão se preparando para a importante prova do Enem,
apresentamos um estudo complementar da Estatística aqui já retratado.
Se você quiser mais detalhes sobre o tema, não deixe de acessar a
matéria neste blog: Noções de Estatística. Ainda, informamos que o exame ENEM quase sempre traz questões sobre esse conteúdo. Então, vamos relembrar estes conceitos:
Média:
Quando aparecer apenas o termo “média”, estamos falando simplesmente da média aritmética.
Ela é calculada a partir do somatório dos valores de todos os
elementos, e cujo total é dividido pela quantidade destes elementos
somados. Uma variação dela é chamada de média aritmética ponderada.
Na utilização da média simples, a ocorrência dos valores possui a mesma
importância e no caso da média ponderada são atribuídos aos valores
importâncias ou pesos diferentes.
Na
média simples os valores são somados e divididos pela quantidade de
termos adicionados. A média ponderada é calculada através do somatório
das multiplicações entre valores e dos pesos divididos pelo somatório
dos pesos.
Exemplos:
1) Seja o conjunto dos elementos: 2, 4 e 6.
Para achar a média aritmética basta somar os termos e dividir por 3 pois temos 3 termos. Então, a média aritmética simples vale: (2+4+6)/3 = 12/3 = 4.
2)
Se considerarmos que os valores acima ou 2, 4 e 6 são as notas obtidas
por um aluno e cujo peso das provas são respectivamente 1, 2 e 3, então
teremos que a média aritmética ponderada vale: (2.1 + 4.2 + 6.3)/ 1+2+3 = (2+8+18)/ 6 = 28/6 = 4,66...
Mediana:
Dada
uma sequência de valores ordenados em ordem crescente ou decrescente, a
mediana é o valor central dessa sequência. Caso haja dois valores
centrais, a mediana é dada pela média aritmética deles.
Exemplo:
3) Seja o conjunto de valores: 1, 2, 3, 4, 5, 3, 2, 7.
Colocando estes valores em ordem crescente: 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 7. Portanto a mediana vale: (3+3)/2 = 6/2 = 3
4) Se o preço de um sapato vale em 5 lojas os valores: 120,00 – 100,00 – 150,00 – 90,00 e 80,00. Qual a Mediana de seus preços?
Colocando-se os valores em ordem crescente: 80,00 – 90,00 – 100,00 – 120,00 – 150,00. Note que o valor 100,00 situa-se exatamente no centro do conjunto, logo ele (100,00) é a Mediana dos preços.
Moda:
Quando
afirmamos que uma roupa está na moda é porque muitas pessoas estão
usando essa mesma roupa. Na Estatística, também é desta forma. Dado um
conjunto de valores, a moda é o número que mais se repete no conjunto.
Exemplo:
5) Dado o conjunto de números: 1, 2, 2, 3, 7, 8, 8, 7, 1, 2, 10. Notemos que o número que mais se repete é o 2, logo a moda vale 2.
Nota:
Quando ocorrer de ter mais de um termo com repetições iguais, eles
serão considerados as Modas do conjunto. No entanto, se não ocorrer
repetições não teremos moda no conjunto.
Exemplo:
6)
Considere que minhas notas na escola são: 10, 9, 9, 8, 8, 7, 7 e 5.
Então neste caso a moda das minhas notas vale: 7, 8 e 9, pois cada uma
se repete duas vezes.
Questões Cobradas nos Exames Enem Anteriores:
1)
O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último
campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a
coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número
de gols.
Gols marcados | Quantidade de partidas |
0 | 5 |
1 | 3 |
2 | 4 |
3 | 3 |
4 | 2 |
5 | 2 |
7 | 1 |
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda dessa distribuição, então:
a) X = Y < Z.
b) Z < X = Y.
c) Y < Z < X.
d) Z < X < Y.
e) Z < Y < X.
Solução: Primeiro, calculemos a média (X).
Nesse caso, utilizaremos a média ponderada, que nada mais é do que uma
especificação da média aritmética. Se ocorreu cinco partidas com nenhum
gol, deveríamos somar 0 + 0 + 0 + 0 + 0; três partidas com um gol: 1 + 1 + 1 e assim por diante. Através do cálculo da média ponderada, teremos:
X = 0.5 + 1.3 + 2.4 + 3.3 + 4.2 + 5.2 + 7.1
5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1
X = 0 + 3 + 8 + 9 + 8 + 10 + 7
20
X = 45
20
X = 2,25
Depois, vamos calcular a mediana (Y). Para isso, basta organizar os gols marcados em ordem crescente:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
Ao
organizarmos os gols marcados em ordem crescente, como há dois valores
centrais. Vamos então fazer o cálculo da média aritmética entre eles:
Y = 2 + 2
2
Y = 2
Resta-nos agora encontrarmos a moda (Z).
Para isso, basta olhar na tabela e verificar qual é a maior quantidade
de partidas com o mesmo número de gols marcados. Facilmente podemos
constatar que houve cinco partidas sem nenhum gol marcado. Ao olharmos a
sequência montada para verificar a mediana, também podemos ver que o
número zero é o que mais se repete. Portanto, a moda é zero.
Se Z = 0, Y = 2 e X = 2,25, então a alternativa correta é a letra e, que apresenta Z < Y < X.
2)
Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu
a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias
intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de
procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de
referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo
dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no
quadro.
Dia do mês | Temperatura (em ºC) |
1 | 15,5 |
3 | 14 |
5 | 13,5 |
7 | 18 |
9 | 19,5 |
11 | 20 |
13 | 13,5 |
15 | 13,5 |
17 | 18 |
19 | 20 |
21 | 18,5 |
23 | 13,5 |
25 | 21,5 |
27 | 20 |
29 | 16 |
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a
a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.
e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C
Solução:
- Para achar a média aritmética vamos somando todos os valores de temperatura encontrados e dividindo a soma pela quantidade de dias analisados:
M.A. = 15,5+14+13,5+18+19,5+20+13,5+13,5+18+20+18,5+13,5+21,5+20+16
15
M.A. = 255
15
M.A. = 17
Portanto: A média das temperaturas é de 17° C.
- Para calcular a mediana, vamos organizar os valores em ordem crescente:
13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 21,5; 20
O valor central é o 18, então, sem que seja necessário fazer qualquer outro cálculo, podemos afirmar que a mediana é 18°C.
- A moda é
o valor mais frequente entre as informações apontadas. A temperatura de
13,5°C aparece quatro vezes na tabela, sendo a mais frequente.
Portanto, a moda é 13,5°C.
Sendo assim, a alternativa correta é a letra b, que aponta que a média, a mediana e a moda são, respectivamente, 17°C, 18°C e 13,5°C.
3) A
tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três
últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja
comprar duas destas empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a
média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e
escolhe as duas empresas com a maior média anual. As empresas que este
investidor deverá escolher para comprar são
A) Balas W e Pizzaria Y.
B) Chocolates X e Tecelagem Z.
C) Pizzaria Y e Alfi netes V.
D) Pizzaria Y e Chocolates X.
E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
Solução: Com base na tabela acima, calcula-se as médias de cada empresa: Empresa Alfinetes V = 200+220+240 / 3 = 660/3 = 220
Empresa Balas W = 200+230+200 / 3 = 630/3 = 210
Empresa Chocolates X = 250+210+215 / 3 = 675/3 = 225
Empresa Pizzaria Y = 230+230+230 /3 = 690/3 = 230
Empresa Tecelagem Z = 160+210+245 / 3 = 615/3 = 205
Logo, ele escolheu a letra D): Pizzaria Y (230) e Chocolates X (225)
4) O gráfico apresenta o
comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de
janeiro de 2010 a outubro de 2010.
Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é
A) 212.952.
B) 229.913.
C) 240.621.
D) 255.496.
E) 298.041 Solução: Pede-se para calcular a mediana, logo:
Coloquemos os dados em ordem crescente(rol), temos:
181419 - 181796 - 204804 - 209425 - 212952 - 246875 - 266415 - 298041 - 299415 - 305068
Como sobrou os valores centrais, vamos
calcular sua média aritmética simples ou seja: 212952+246875 /2 =
459827/2 = 229913, portanto devemos marcar a letra B.
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